Часто порядок математических операций вызывает путаницу. Ситуация усложняется, когда появляются круглые скобки, способные не только разбить длинное выражение на части, но и изменить порядок операций.
В Идеи для дома мы собрали все, что необходимо помнить при решении операций со скобками.
Порядок решения операций без скобок
Для решения простых упражнений без скобок, вычисления корней и дробей достаточно запомнить следующее правило:
- Все операции выполняются в порядке слева направо.
- Сначала выполните умножение и деление. А потом сложение и вычитание.
Как это применимо на практике??
Пример 1. Вычислить результат: 15 − 3 + 7.
Сначала выполняем все операции слева направо:
1) 15 — 3 = 12
2) 12 + 7 = 19
Ответ: 15 − 3 + 7 = 19
Пример 2. Вычислите результат 10 ÷ 2 × 8.
Здесь также выполняем все операции слева направо:
1) 10 ÷ 2 = 5
2) 5 × 8 = 40
Ответ: 10 ÷ 2 × 8 = 40.
Пример 3. Вычислить: 5 × 4 − 8 ÷ 2.
Здесь тоже решаем слева направо, но имейте в виду, что умножение и деление выполняются первыми. Поэтому решаем так:
1) 5 × 4 = 20. Это умножение и именно операция стоит на первом месте, если двигаться слева направо.
2) 8 ÷ 2 = 4. Это деление и имеет приоритет перед вычитанием. Следовательно, даже если оно дальше вправо, оно должно быть разрешено после умножения из-за приоритета.
3) 20 — 4 = 16. После выполнения умножения и деления переходим к вычитанию.
Правильный ответ: 5 × 4 − 8 ÷ 2 = 16.
Если математическое выражение состоит из нескольких операций или вы изучаете их порядок, вы можете поставить числа над знаками операций, чтобы определить порядок, в котором они должны решаться, как показано на изображении выше.
Важный: Не нужно ставить скобки при выполнении операций сложения и вычитания слева направо. Например, вместо (4 − 2) + 3 достаточно написать 4 − 2 + 3. Также нет необходимости добавлять круглые скобки, чтобы выделить операции, которые имеют приоритет. Например, вместо 5+(4×3) просто напишите 5+4×3, так как в этом случае операция умножения имеет приоритет над сложением, даже без наличия скобок.
Порядок решения операций со скобками
Математическое выражение может иметь скобки. Его основная функция состоит в том, чтобы изменить обычный порядок решения математических операций. Запомните следующее правило, чтобы не запутаться:
- Сначала вам нужно решить, что находится между скобками.
- Затем выполните остальные операции слева направо.
- Умножение и деление выполняются первыми. Тогда сложение и вычитание.
- Внутри скобок применяется тот же порядок.
- Если выражение содержит дроби или степени, по возможности выполняйте их вычисление перед решением умножения или деления, а затем переходите к сложению и вычитанию.
Как это применимо на практике??
Пример 1. Вычислить: 5 × (8 − 4) ÷ 2.
Следуя указанным выше правилам, сначала выполняются операции между скобками, а затем все остальные по порядку. Таким способом получаем следующее:
1) 8 — 4 = 4
Зная результат операции в круглых скобках, мы можем для удобства написать выражение вида 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 5 × 4 ÷ 2 на блокноте. Затем решаем операции умножения и деления по порядку:
2) 5 × 4 = 20
3) 20 ÷ 2 = 10
Получаем следующее: 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 10.
Ответ: 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 10.
Пример 2. Решите и сравните результаты: 7 — 3 + 2 и 7 — (3 + 2).
Вычисляем результат первого выражения: 7 − 3 + 2 = 6. Теперь вычисляем результат второго выражения: 7 − (3 + 2) = 7 − 5 = 2. Наличие круглых скобок во втором примере изменило порядок операций, поэтому результат двух выражений разный.
Пример 3. Вычислить 8 — 2 × (15 — 4 × 3) + (7 + 3 × 2).
На первый взгляд это математическое выражение кажется сложным. Чтобы упростить процесс расчета, разбейте его на отдельные этапы по порядку:
1) Сначала решите то, что в скобках. Чтобы получить результат математического выражения в первых нескольких скобках, вы должны помнить, какие операции имеют приоритет. Таким образом, мы сначала вычисляем 4 × 3, а затем из 15 вычитаем результат. Ответ: 15 — 12 = 3. Продолжайте со второй скобкой: вычислите 3 × 2 и добавьте 7 к результату. Ответ: 7 + 6 = 13.
2) Зная результат операций в скобках, выражение можно упростить до следующего вида: 8 − 2 × 3 + 13. Теперь нужно выполнить умножение, а затем сложение и вычитание по порядку: 8 − 6 + 13 = 2 + 13 = 15. Ответ: 8 — 2 × (15 — 4 × 3) + (7 + 3 × 2) = 15.
Важный: Существуют также выражения, в которых внутри круглых скобок стоят другие круглые скобки. В этом случае способ решения аналогичен: сначала надо вычислить результат внутренних скобок, затем выполнить операцию с внешними скобками и в конце то, что находится за скобками. Кроме того, тип круглых скобок может различаться: наиболее распространенными являются ( ), но вы также можете встретить { } и [ ].
Распространенные ошибки, из-за которых многие неправильно решают упражнения со скобками
- Знак умножения опущен перед скобками. Это может привести к путанице в порядке операций.
Например, вычислите результат следующей операции: 8 + 4(3 − 1). При решении этой задачи по ошибке можно было сначала вычислить результат в скобках, затем вычесть и, наконец, умножить полученные числа. Однако правильный порядок таков: сначала получаем результат в скобках, затем умножаем его на 4 и, наконец, к 8 прибавляем полученный результат. Результат будет выглядеть так: 8 + 4 (3 — 1) = 8 + 4 × (3 — 1) = 8 + 4 × 2 = 8 + 8 = 16.
Математическое выражение 8 ÷ 4(3 − 1) могло бы выглядеть немного сложнее. Алгоритм решения аналогичен. Сначала выполняются операции в скобках, затем в порядке слева направо выполняются деление и умножение: 8 ÷ 4 × (3 − 1) = 8 ÷ 4 × 2 = 2 × 2 = 4.
- Упражнения с неправильно решенными скобками, в которых в начале стоит знак минус.
Бывают ситуации, когда необходимо открыть то, что находится в скобках, чтобы упростить выражение. В таком случае, если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок знак минус опускается, а остальные знаки внутри скобок меняются местами, как при умножении каждого числа на -1. Например, в выражении 6 + 5 — (4 + 3 — 2) открытие того, что находится в скобках, становится 6 + 5 — 4 — 3 + 2. Наиболее частые ошибки возникают при наличии выражений с переменными и множеством операций, например: 3 + 2(x + 1) − 2(x − 1). Не зная значения переменной, мы не можем вычислить результат выражения в скобках, поэтому нужно избавиться от скобок и упростить выражение до 3 + 2х + 2 — 2х + 2 = 7. Если мы не правильно раскроем то, что в скобках, то можем получить следующее: 3 + 2х + 2 − 2х — 2 = 3.
- Расчет выполняется в калькуляторе.
Не все калькуляторы могут выполнять операции в правильном порядке, хотя есть модели, которые планируются разделить простые сложные расчеты по одному и тому же математическому выражению. Как проверить свой калькулятор? Попробуйте найти результат выражения 1 + 5 × 7. Если ответ составляет 36, то калькулятор может решать сложные упражнения, выполняя операции в правильном порядке.
